RSA加密算法

RSA加密算法是一种非对称加密算法。在公开密钥加密和电子商业中RSA被广泛使用。
RSA是1977年由罗纳德·李维斯特(Ron Rivest)、阿迪·萨莫尔(Adi Shamir)和
伦纳德·阿德曼(Leonard Adleman)一起提出的。当时他们三人都在麻省理工学院工作。RSA就是他们三人姓氏开头字母拼在一起组成的。

1973年,在英国政府通讯总部工作的数学家克利福德·柯克斯(Clifford Cocks)在一个内部文件中提出了一个相同的算法,但他的发现被列入机密,一直到1997年才被发表。

对极大整数做因数分解的难度决定了RSA算法的可靠性。即对一极大整数做因数分解愈困难,RSA算法愈可靠。假如有人找到一种快速因数分解的算法的话,那么用RSA加密的信息的可靠性就肯定会极度下降。但找到这样的算法的可能性是非常小的。今天只有短的RSA钥匙才可能被强力方式解破。到2016年为止,世界上还没有任何可靠的攻击RSA算法的方式。只要其钥匙的长度足够长,用RSA加密的信息实际上是不能被解破的。
RSA

RSA算法

密钥:

加密和解密使用的规则(简称“密钥”)

对称加密算法(Symmetric-key algorithm):

加密和解密使用同一密钥(规则)的算法。
(1)甲方选择某一种加密规则,对信息进行加密;
(2)乙方使用同一种规则,对信息进行解密。

非对称加密算法:

加密和解密不使用同一规则,只要两种规则之间存在某种对应关系即可,可避免直接传递密钥。以"公钥"及"私钥"形成对应关系。公钥公开,私钥保密。
(1)乙方生成两把密钥(公钥和私钥)。公钥是公开的,私钥则保密。
(2)甲方获取乙方的公钥,然后用它对信息加密。
(3)乙方得到加密后的信息,用私钥解密。

four Mathematic Theory

They can help you understand RSA much better. RSA is based on these four knowledge.

1.coprime(互质关系)

如果两个正整数,除了1以外,没有其他公因子,我们就称这两个数是互质关系。比如,15和32没有公因子,所以它们是互质关系。这说明,不是质数也可以构成互质关系。
  1. 任意两个质数构成互质关系,比如13和61。
  2. 一个数是质数,另一个数只要不是前者的倍数,两者就构成互质关系,比如3和10。
  3. 如果两个数之中,较大的那个数是质数,则两者构成互质关系,比如97和57。
  4. 1和任意一个自然数是都是互质关系,比如1和99。
  5. p是大于1的整数,则p和p-1构成互质关系,比如57和56。
  6. p是大于1的奇数,则p和p-2构成互质关系,比如17和15。

2.欧拉函数

欧拉
欧拉定理是RSA算法的核心。理解了这个定理,就可以理解RSA。
detail

3.模反元素

mofan

4.二进制与十进制转换算法

十进制转二进制:
    用2辗转相除至结果为1 
    将余数和最后的1从下向上倒序写 就是结果
    例如302
    302/2 = 151 余0 
    151/2 = 75 余1 
    75/2 = 37 余1 
    37/2 = 18 余1 
    18/2 = 9 余0 
    9/2 = 4 余1 
    4/2 = 2 余0 
    2/2 = 1 余0 
    故二进制为100101110 

二进制转十进制:
    从最后一位开始算,依次列为第0、1、2...位
    第n位的数(0或1)乘以2的n次方
    得到的结果相加就是答案
    例如:01101011.转十进制: 
    第0位:1乘2的0次方=1 
    1乘2的1次方=2 
    0乘2的2次方=0 
    1乘2的3次方=8  
    0乘2的4次方=0 
    1乘2的5次方=32 
    1乘2的6次方=64 
    0乘2的7次方=0 
    然后:1+2+0 
     +8+0+32+64+0=107. 
    二进制01101011=十进制107.

Generate key(生成密钥)

eg.假设爱丽丝要与鲍勃进行加密通信,她该怎么生成公钥和私钥呢?

step1:随机选择两个不相等的质数p和q。

p=61 & q=53(实际应用中,这两个质数越大,就越难破解。)

step2:计算p和q的乘积n

n = 61×53 = 3233

n的长度就是密钥长度。3233写成二进制是110010100001,一共有12位,所以这个密钥就是12位。实际应用中,RSA密钥一般是1024位,重要场合则为2048位

step3:计算n的欧拉函数φ(n)

公式:
φ(n) = (p-1)(q-1)
算出φ(3233)等于60×52,即3120。

step4:随机选择一个整数e,条件是1< e < φ(n),且e与φ(n) 互质

爱丽丝就在1到3120之间,随机选择了17。(实际应用中,常常选择65537。)

step5:

所谓"模反元素"就是指有一个整数d,可以使得ed被φ(n)除的余数为1。
  ed ≡ 1 (mod φ(n))
这个式子等价于
  ed - 1 = kφ(n)
于是,找到模反元素d,实质上就是对下面这个二元一次方程求解。
  ex + φ(n)y = 1
已知 e=17, φ(n)=3120,
  17x + 3120y = 1
这个方程可以用"扩展欧几里得算法"求解,此处省略具体过程。总之,爱丽丝算出一组整数解为 (x,y)=(2753,-15),即 d=2753。
至此所有计算完成。

step6:将n和e封装成公钥,n和d封装成私钥。

在爱丽丝的例子中,n=3233,e=17,d=2753,所以公钥就是 (3233,17),私钥就是(3233, 2753)。
实际应用中,公钥和私钥的数据都采用ASN.1格式表达(实例)。

step7:RSA算法的可靠性

回顾上面的密钥生成步骤,一共出现六个数字:

1
2
3
4
5
6
   p
  q
  n
  φ(n)
  e
  d

这六个数字之中,公钥用到了两个(n和e),其余四个数字都是不公开的。其中最关键的是d,因为n和d组成了私钥,一旦d泄漏,就等于私钥泄漏。

那么,有无可能在已知n和e的情况下,推导出d?

1
2
3
  (1)ed≡1 (mod φ(n))。只有知道e和φ(n),才能算出d。
  (2)φ(n)=(p-1)(q-1)。只有知道p和q,才能算出φ(n)。
  (3)n=pq。只有将n因数分解,才能算出p和q。

结论:如果n可以被因数分解,d就可以算出,也就意味着私钥被破解。
大整数的因数分解,是一件非常困难的事情。目前,除了暴力破解,还没有发现别的有效方法。

举例来说,你可以对3233进行因数分解(61×53),但是你没法对下面这个整数进行因数分解。

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
  12301866845301177551304949
  58384962720772853569595334
  79219732245215172640050726
  36575187452021997864693899
  56474942774063845925192557
  32630345373154826850791702
  61221429134616704292143116
  02221240479274737794080665
  351419597459856902143413
它等于这样两个质数的乘积
  33478071698956898786044169
  84821269081770479498371376
  85689124313889828837938780
  02287614711652531743087737
  814467999489
    ×
  36746043666799590428244633
  79962795263227915816434308
  76426760322838157396665112
  79233373417143396810270092
  798736308917

事实上,这大概是人类已经分解的最大整数(232个十进制位,768个二进制位)。比它更大的因数分解,还没有被报道过,因此目前被破解的最长RSA密钥就是768位。

step8:加密和解密

有了公钥和密钥,就能进行加密和解密了。
(1)加密要用公钥 (n,e)
假设鲍勃要向爱丽丝发送加密信息m,他就要用爱丽丝的公钥 (n,e) 对m进行加密。这里需要注意,m必须是整数(字符串可以取ascii值或unicode值),且m必须小于n。
所谓"加密",就是算出下式的c:
  me ≡ c (mod n)
爱丽丝的公钥是 (3233, 17),鲍勃的m假设是65,那么可以算出下面的等式:
  6517 ≡ 2790 (mod 3233)
于是,c等于2790,鲍勃就把2790发给了爱丽丝。
(2)解密要用私钥(n,d)
爱丽丝拿到鲍勃发来的2790以后,就用自己的私钥(3233, 2753) 进行解密。可以证明,下面的等式一定成立:
  cd ≡ m (mod n)
也就是说,c的d次方除以n的余数为m。现在,c等于2790,私钥是(3233, 2753),那么,爱丽丝算出
  27902753 ≡ 65 (mod 3233)
因此,爱丽丝知道了鲍勃加密前的原文就是65。
至此,"加密--解密"的整个过程全部完成。
我们可以看到,如果不知道d,就没有办法从c求出m。而前面已经说过,要知道d就必须分解n,这是极难做到的,所以RSA算法保证了通信安全。
你可能会问,公钥(n,e) 只能加密小于n的整数m,那么如果要加密大于n的整数,该怎么办?有两种解决方法:一种是把长信息分割成若干段短消息,每段分别加密;另一种是先选择一种"对称性加密算法"(比如DES),用这种算法的密钥加密信息,再用RSA公钥加密DES密钥。

step9:私钥解密的证明

最后,我们来证明,为什么用私钥解密,一定可以正确地得到m。也就是证明下面这个式子:
  cd ≡ m (mod n)
因为,根据加密规则
  me ≡ c (mod n)
于是,c可以写成下面的形式:
  c = me - kn
将c代入要我们要证明的那个解密规则:
  (me - kn)d ≡ m (mod n)
它等同于求证
  med ≡ m (mod n)
由于
  ed ≡ 1 (mod φ(n))
所以
  ed = hφ(n)+1
将ed代入:
  mhφ(n)+1 ≡ m (mod n)
接下来,分成两种情况证明上面这个式子。
(1)m与n互质。
根据欧拉定理,此时
  mφ(n) ≡ 1 (mod n)
得到
  (mφ(n))h × m ≡ m (mod n)
原式得到证明。
(2)m与n不是互质关系。
此时,由于n等于质数p和q的乘积,所以m必然等于kp或kq。
以 m = kp为例,考虑到这时k与q必然互质,则根据欧拉定理,下面的式子成立:
  (kp)q-1 ≡ 1 (mod q)
进一步得到
  [(kp)q-1]h(p-1) × kp ≡ kp (mod q)
即
  (kp)ed ≡ kp (mod q)
将它改写成下面的等式
  (kp)ed = tq + kp
这时t必然能被p整除,即 t=t'p
  (kp)ed = t'pq + kp
因为 m=kp,n=pq,所以
  med ≡ m (mod n)
原式得到证明。

摘录

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